题目内容

某工厂今年拟举行产品促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x（万件）与年促消费m（万元）（m≥0）满足关系 $数学公式$ ，已知今年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（I）将今年该产品的利润y（万元）表示为年促销费m（万元）的函数；（II）求今年该产品利润的最大值，此时年促销费为多少万元？

解：（I）每件产品的成本为 $\text{[math]}$ 元，且x= $\text{[math]}$ ，则
今年的利润y=1.5× $\text{[math]}$ •x-（8+16x+m）=4+8x-m=4+8 $\text{[math]}$ -m=28- $\text{[math]}$ -m（其中m≥0），
所以，所求的函数为y=28-m- $\text{[math]}$ m≥0；
（II）因为函数y=28-m- $\text{[math]}$ =29-[ $\text{[math]}$ +m+1]≤29-2 $\text{[math]}$ =21，
当且仅当 $\text{[math]}$ =m+1（其中m≥0），即m=3（万元）时，等号成立；
所以，今年该产品利润的最大值为21万元，此时年促销费为3万元．
分析：（I）每件产品的成本为 $\text{[math]}$ 元，且x= $\text{[math]}$ ，则利润函数y=1.5× $\text{[math]}$ •x-（8+16x+m），整理即可；
（II）由函数y=28-m- $\text{[math]}$ ，构造条件应用基本不等式，可求得函数y的最大值及对应的m值．
点评：本题考查了利润函数模型的应用，也考查了利用基本不等式a+b≥2 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）求函数的最值问题，是中档题．