题目内容
①已知sinα-cosα=
，求sin2α的值．
②证明
-2cos(α+β)=
．
| 1 |
| 5 |
②证明
| sin(2α+β) |
| sinα |
| sinβ |
| sinα |
分析：①将已知等式两边平方，再结合同角三角函数的平方关系和二倍角的正弦公式，即可得到sin2α的值．
②配角：2α+β=α+（α+β），将左边分式的分子展开后通分合并，结合两角差的正弦公式，化简整理即得原不等式成立．
②配角：2α+β=α+（α+β），将左边分式的分子展开后通分合并，结合两角差的正弦公式，化简整理即得原不等式成立．
解答：解：①由题得：(sinα-cosα)2=
，即sin2α-2sinαcosα+cos2α=
∵sin2α+cos2α=1，
∴1-sin2α=
，可得sin2α=
②∵sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）
∴
-2cos(α+β)=
=
=
=
∴原等式成立
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| 25 |
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∵sin2α+cos2α=1，
∴1-sin2α=
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| 24 |
| 25 |
②∵sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）
∴
| sin(2α+β) |
| sinα |
| sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)-2sinαcos(α+β) |
| sinα |
=
| cosαsin(α+β)-sinαcos(α+β) |
| sinα |
| sin[(α+β)-α] |
| sinα |
| sinβ |
| cosα |
∴原等式成立
点评：本题通过求值和证明恒等式成立，着重考查了同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题．
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