Question

【题目】已知f（ex）=ax2﹣x，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求x∈（0，1]时，f（x）的值域；
（3）设a＞0，若h（x）=[f（x）+1﹣a]logxe对任意的x1 ， x2∈[e﹣3 ， e﹣1]，总有|h（x1）﹣h（x2）|≤a+ 恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设ex=t，则x=lnt＞0，所以f（t）=a（lnt）2﹣lnt

所以f（x）=a（lnx）2﹣lnx（x＞0）

（2）解：设lnx=m（m≤0），则f（x）=g（m）=am2﹣m

当a=0时，f（x）=g（m）=﹣m，g（m）的值域为[0，+∞）

当a≠0时，

若a＞0， ，g（m）的值域为[0，+∞）

若a＜0， ，g（m）在 上单调递增，在 上单调递减，g（m）的值域为 ）

综上，当a≥0时f（x）的值域为[0，+∞）

当a＜0时f（x）的值域为

（3）解：因为 对任意 总有

所以h（x）在[e﹣3，e﹣1]满足

设lnx=s（s∈[﹣3，﹣1]），则 ，s∈[﹣3，﹣1]

当1﹣a＜0即a＞1时r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递增

所以 ，即 ，所以 （舍）

当a=1时，r（s）=s﹣1，不符合题意

当0＜a＜1时，则 =a（s+ ）﹣1，s∈[﹣3，﹣1]

若 即 时，r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递增

所以 ，则

若 即 时r（s）在 递增，在 递减

所以 ，得

若 即 时r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递减

所以 ，即 ，得

综上所述：

【解析】（1）利用换元法进行求解即可．（2）根据函数的解析式即可求函数的值域．（3）根据函数恒成立问题，建立不等式关系进行求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，以及对二次函数的性质的理解，了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．