Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2（n∈N*），数列{b_n}中b₁=1，点P（b_n，b_n+1）
在直线x-y+2=0上。
（1） 求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2） 设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n，并求满足T_n<167的最大正整数n。

Answer 1

解：（1）∵，S_n-1=2-2（n≥2）；
两式相减得S_n-S_n-1=a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2）
∴=2（n≥2）又S₁=a₁=2a₁-2即a₁=2
∴数列{a_n}是以2为首项2为公比的等比数列，∴a_n=2n
有点（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，∴-+2=0，∴-=2
即数列{b_n}是以1为首项2为公差的等差数列。∴b_n=2n-1
（2）==（2n-1）2ⁿ
∴T_n=1
2T_n=1
两式相减得- T_n=1+（）-（2n-1）2ⁿ⁺¹
∴T_n=
又T_n＜167即＜167
易知T_n递增：当n=4时=160
当n=5时=448
故满足条件T_n＜167的最大正整数n为4.