Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，a_n+S_n=4096．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设数列{log₂a_n}的前n项和为T_n，对数列{T_n}，从第几项起T_n＜-509？

Answer 1

分析：（1）由题设知a₁+S₁=4096，a₁=2048．a_n=S_n-S_n-1=（4096-a_n）-（4096-a_n-1）=a_n-1-a_n，由此可知

an

an-1

=

1

2

a_n=2048（

1

2

）^n-1．
（2）由题设条件可知T_n=

1

2

（-n²+23n）．再由T_n＜-509，知n＞

23+ 4601

2

，由此可知从第46项起T_n＜-509．

解答：解：（1）∵a_n+S_n=4096，
∴a₁+S₁=4096，a₁=2048．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（4096-a_n）-（4096-a_n-1）=a_n-1-a_n
∴

an

an-1

=

1

2

a_n=2048（

1

2

）^n-1．
（2）∵log₂a_n=log₂[2048（

1

2

）^n-1]=12-n，
∴T_n=

1

2

（-n²+23n）．
由T_n＜-509，解得n＞

23+ 4601

2

，而n是正整数，
于是，n≥46．
∴从第46项起T_n＜-509．

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．