Question

已知圆x²+y²+x-6y=0和直线2x+3y-m=0交于不同的P，Q两点，若OP⊥OQ（O为坐标原点），则m=

3

．

Answer 1

分析：由已知中，圆x²+y²+x-6y=0和直线2x+3y-m=0交于不同的P，Q两点，使用“设而不求”+“联立方程”+“韦达定理”的方法，结合OP⊥OQ，我们可以构造一个关于m的方程，解方程即可求出满足条件的m的值．

解答：解：联立直线与圆方程得到：
（2y-3）²-（2y-3）+y²-6y+m=0
整理得：5y²-20y+（m+12）=0
则：y₁+y₂=4，y₁•y₂=

m+12

5

∴x₁•x₂=（-2y₁+3）•（-2y₂+3）=4y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=4•

m+12

5

-15
已知OP⊥OQ
则，Kop*Koq=-1
即：y₁•y₂+x₁•x₂=0
∴

m+12

5

+4•

m+12

5

-15=0
即m+12-15=0
∴m=3
故答案为：3

点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中“设而不求”+“联立方程”+“韦达定理”的方法，是解答直线与圆锥曲线（包括圆）位置关系中，最常用的方法，一定要熟练掌握．