Question

已知圆x²+y²+x-6y+c=0与直线x+2y-5=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求该圆的圆心坐标及半径．

Answer 1

分析：联立方程，设出交点，利用韦达定理，表示出P、Q的坐标关系，由于OP⊥OQ，所以k_OP•k_OQ=-1，问题可解．

解答：解：将x=5-2y代入方程x²+y²+x-6y+c=0，得：5y²-28y+30+c=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则y₁，y₂满足条件y₁+y₂=

28

5

，y₁y₂=

30+c

5

，
∵OP⊥OQ，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
而x₁=5-2y₁，x₂=5-2y₂，∴x₁x₂=25-10（y₁+y₂）+4y₁y₂=25-56+

4(30+c)

5

=-

30+c

5

，
∴c=1，此时△＞0，圆心坐标为（-

1

2

，3），半径r=

33

2

．

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，解题方法是设而不求，简化运算，是常考点．