Question

关于x的方程4^x-k•2^x+k+3=0，只有一个实数解，则实数k的取值范围是________．

Answer 1

（-∞，-3）∪{6}
分析：首先换元，令t=2^x，则关于t方程 t²-kt+k+3=0只有一个正根，根据根与系数的关系写出一元二次方程要满足的条件，得到结果．
解答：设t=2^x，t＞0
x的方程4^x-k•2^x+k+3=0转化为t²-kt+k+3=0，设f（t）=t²-kt+k+3，
原方程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根，
∴f（0）＜0，或△=0，
∴k＜-3，或k=6
故答案为（-∞，-3）∪{6}．
点评：本题考查一元二次方程根存在的条件，考查换元的数学思想，本题解题的关键是注意换元过程中变量范围的改变．本题是一个中档题目．