Question

过椭圆

x2

16

+

y2

4

=1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．

Answer 1

分析：设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，结合M（2，1）为AB的中点吗，求出直线的斜率，即可得到直线的方程．

解答：解：设直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
∵M（2，1）为AB的中点
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2
∵又A、B两点在椭圆上，则x12+4y12=16，x22+4y22=16
两式相减得(x12-x22)+4(y12-y22)=0
于是（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

4

4×2

=-

1

2

，即kAB=-

1

2

，
故所求直线的方程为y-1=-

1

2

(x-2)，即x+2y-4=0．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．