Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）
（1）若关于x的不等式f（x）-m≥0在[0，e-1]有实数解，求实数m的取值范围．
（2）设g（x）=f（x）-x²-1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值．
（3）证明不等式：ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）依题意得f（x）_max≥m，x∈[0，e-1]，求导数，求得函数的单调性，从而可得函数的最大值；
（2）求导函数，求得函数的单调性与最值，从而可得p的最小值；
（3）先证明ln（1+x）≤x，令x=

1

n

(n∈N*)，则x∈（0，1）代入上面不等式得：ln(1+

1

n

)＜

1

n

，从而可得
ln(n+1)-lnn＜

1

n

．利用叠加法可得结论．

解答：（1）解：依题意得f（x）_max≥m，x∈[0，e-1]
∵f′(x)=2(1+x)-

2

1+x

=

2x(x+2)

x+1

，而函数f（x）的定义域为（-1，+∞）
∴f（x）在（-1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，
∴f（x）在[0，e-1]上为增函数，∴f(x)max=f(e-1)=e2-2
∴实数m的取值范围为m≤e²-2
（2）解：g（x）=f（x）-x²-1=2x-2ln（1+x）=2[x-ln（1+x）]，∴g′(x)=2(1-

1

1+x

)=

2x

1+x

显然，函数g（x）在（-1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数
∴函数g（x）的最小值为g（0）=0
∴要使方程g（x）=p至少有一个解，则p≥0，即p的最小值为0
（3）证明：由（2）可知：g（x）=2[x-ln（1+x）]≥0在（-1，+∞）上恒成立
所以ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时等号成立
令x=

1

n

(n∈N*)，则x∈（0，1）代入上面不等式得：ln(1+

1

n

)＜

1

n

即ln

n+1

n

＜

1

n

，即ln(n+1)-lnn＜

1

n

所以ln2-ln1＜1，ln3-ln2＜

1

2

，ln4-ln3＜

1

3

，…，ln(n+1)-lnn＜

1

n

将以上n个等式相加即可得到：ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查恒成立问题，属于中档题．