Question

设实数x，y满足条件

4x-y-10≤0 x-2y+8≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数Z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12．
（1）画出不等式组的平面区域图；      
（2）求

2

a

+

3

b

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中的约束条件，我们先找出平面区域的边界线，进而分析平面区域所表示的区域在边界的哪一侧，可得满足约束条件的平面区域图；      
（2）由（1）中可行域及a＞0，b＞0，可得目标函数Z=ax+by在A点取最大值为12，进而得到4a+6b=12，利用基本不等式可得

2

a

+

3

b

的最小值．

解答：解：（1）满足条件

4x-y-10≤0 x-2y+8≥0 x≥0，y≥0

的平面区域如下图阴影部分所示：

（2）∵a＞0，b＞0，
∴在A点目标函数Z=4a+6b=12
即

a

3

+

b

2

=1
则

2

a

+

3

b

=（

2

a

+

3

b

）•（

a

3

+

b

2

）=（

2

3

+

3

2

）+（

a

b

+

b

a

）≥

2

3

+

3

2

+2=

25

6

故

2

a

+

3

b

的最小值为

25

6

点评：本题考查的知识点是简单线性规划，基本不等式，其中分析出目标函数Z=ax+by在A点取最大值是解答的关键．