Question

求下列函数的最值
（1）x＞0时，求y=

6

x2

+3x的最小值．
（2）设x∈[

1

9

，27]，求y=log3

x

27

•log3(3x)的最大值．
（3）若0＜x＜1，求y=x⁴（1-x²）的最大值．
（4）若a＞b＞0，求a+

1

b(a-b)

的最小值．

Answer 1

分析：（1）本题可为三个数的和，将y=

6

x2

+3x变为y=

6

x2

+

3

2

x+

3x

2

，用基本不等式求出最小值．
（2）将函数变形f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3，令log₃x=t，转化为二次函数解决．
（3）将原函数式化为y=x⁴（1-x²）=4×

1

2

x²•

1

2

x²（1-x²）后利用基本不等式求解即可．
（4）本题可为三个数的和，可进行变形a+

1

b(a-b)

=a-b+b+

1

b(a-b)

用基本不等式求出最小值．

解答：解：（1）y=y=

6

x2

+3x，
y=

6

x2

+

3

2

x+

3x

2

≥3

3	6 x2 • 3x 2 • 3x 2

=9，
当且仅当

6

x2

=

3x

2

时，取等号，
∴函数的最小值为9．

（2）f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3
令log₃x=t，由x∈[

1

9

，27]，得，t∈[-2，3]
∴y=t²-2t-3，t∈[-2，3]
当t=-2或3时，y_max=5
（3）y=x⁴（1-x²）=4×

1

2

x²•

1

2

x²（1-x²）≤4×(

1 2 x2+ 1 2 x2+1-x2

3

)3=

4

27

，
故y=x⁴（1-x²）的最大值是

4

27

．
（4）∵a＞b＞0
a+

1

b(a-b)

=a-b+b+

1

b(a-b)

≥3=3

3	(a-b)b 1 b(a-b)

=3，
当且仅当a-b=b=

1

b(a-b)

时取等号．
故最大值为：3．

点评：本题考查基本不等式公式，此题主要考查求函数最值问题，在做题的时候不能只考虑研究函数图象的方式求最值，需要多分析题目，对于特殊的函数可以用基本不等式直接求得最值．