题目内容

空间中到A、B两点距离相等的点构成的集合是（　　）

A、线段AB的中垂线

B、线段AB的中垂面

C、过AB中点的一条直线

D、一个圆

分析：作出经过线段AB中点C且与AB垂直的平面α，利用线面垂直的定义与性质，证出α内的任意一点到A、B的距离相等，反之到A、B两点距离相等的点在平面α内．由此可得所求点的集合是线段AB的中垂面．

解答：解：

设AB的中点为C，经过点C作平面α，使AB⊥α，如图所示．
设P是α内的任意一点，连结AP、BP、CP，
∵AB⊥α，CP?α，∴CP⊥AB，
又∵C是AB的中点，
∴CP是线段AB的垂直平分线，可得PA=PB，即点P到A、B两点距离相等．
反之，到A、B两点距离相等的点P必定在线段AB的垂直平分线上，
由线面垂直的性质可得点P必定在平面α内．
∴到A、B两点距离相等的点构成的集合是平面α，即线段AB的垂直平分面．
故选：B

点评：本题给出到A、B两点距离相等的点P，求点P的集合构成的图形，着重考查了线面垂直的判定与性质及其应用的知识，属于中档题．