Question

已知圆C的圆心在抛物线x²=2py（p＞0）上运动，且圆C过A（0，p）点，若MN为圆C在x轴上截得的弦．
（1）求弦长MN；
（2）设AM=l₁，AN=l₂，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设圆心坐标C（x，y），根据条件得到圆C的方程，再求出交点M和N的横坐标，再根据弦长公式MN=|x₂-x₁|求得MN．
（2）首先设∠MAN=θ，接着根据三角形MAN面积得l₁与l₂关系式①，再根据余弦定理求得l₁²+l₂^{2_{的表达式即}}l₁与l₂关系式^{②，
联立①②求得的表达式，根据θ的范围代入求解}．
解答：解：（1）依题意设C（x，y），M、N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
        则圆C的方程为：（x-x）²+（y-y）²=x²+（y-p）²．
         令y=0，并由x²=2py，得x²-2xx+x²-p²=0，
         解得x₁=x-p，x₂=x+p，
         所以弦长MN为|x₂-x₁|=x+p-（x-p）=2p．
  
 （2）设∠MAN=θ，因为，
    所以，因为l₁²+l₂²-2l₁ l₂cosθ=4p²，
    所以l₁²+l₂²=．
     所以．
    因为0＜θ≤90，所以当且仅当θ=45°时，原式有最大值，当且仅当θ=90°时，原式有最小值为2，
    从而的取值范围为．
点评：这是一道圆锥曲线与三角函数的知识点交汇综合题型，此题考查学生的运算能力，
知识点方面还考查直线与圆的位置关系，及弦长公式的运用，同时利用三角函数求最值方法．