题目内容

椭圆的焦点为F1、F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN长为
165
，△MF2N的周长为10，则椭圆的离心率e=
 
．
分析：不妨设椭圆的标准方程为：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．由于被椭圆截得的最短的线段MN长为
16
5
，△MF2N的周长为10．可得
2b2
a
=
16
5
4a=10
，解得a，b，并利用离心率计算公式即可得出．
解答：解：不妨设椭圆的标准方程为：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
∵被椭圆截得的最短的线段MN长为
16
5
，△MF2N的周长为10．
∴
2b2
a
=
16
5
4a=10
，解得a=
5
2
，b2=4．
∴e=
c
a
=
1-
b2
a2
=
3
5
．
故答案为：
3
5
．
点评：本题考查了椭圆的标准方程、定义及其性质，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
（2011•韶关模拟）椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为
2
，倾斜角为45°的直线l过点F．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为F1，问抛物线y2=4x上是否存在一点M，使得M与F1关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
椭圆的焦点为F1，
F
 
2
，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦长MN长为
32
5
，△MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为（　　）
（2012•甘肃一模）设椭圆M：
x2
a2
+
y2
2
=1(a＞
2
)的右焦点为F1，直线l：x=
a2
a2-2
与x轴交于点A，若
OF1
+2
AF1
=0（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+（y-2）2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求
PE
•
PF
的最大值．
（2014•江门模拟）已知抛物线Σ1：y=
1
4
x2的焦点F在椭圆Σ2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，直线l与抛物线Σ1相切于点P（2，1），并经过椭圆Σ2的焦点F2．
（1）求椭圆Σ2的方程；
（2）设椭圆Σ2的另一个焦点为F1，试判断直线FF1与l的位置关系．若相交，求出交点坐标；若平行，求两直线之间的距离．
如图,已知椭圆的焦点为F1、F2,A、B为顶点,离心率e=.

(1)求证:A、F1、B、F2四点共圆;

(2)以BF1为直径,作半圆O1,AF切半圆于E,交F1B延长线于F,求cosF的值.

图20

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