Question

（2012•丹东模拟）如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=

3

，F是PB中点，点E在BC边上．
（Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积；
（Ⅱ）求证：AF⊥PE；
（Ⅲ）若EF∥平面PAC，试确定E点的位置．

Answer 1

分析：（I）利用三棱锥E-PAD的体积等于三棱锥P-EAD的体积，可得结论；
（II）利用线面垂直证明线线垂直，证明AF⊥平面PBC即可；
（III）利用EF∥平面PAC，可得EF∥PC，根据F是PB中点，可得结论．

解答：（I）解：三棱锥E-PAD的体积等于三棱锥P-EAD的体积
∵PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=

3

，
∴V_P-EAD=

1

3

×

1

2

×AD×AB×PA=

3

6

∴三棱锥E-PAD的体积为

3

6

；
（II）证明：∵PA⊥平面ABCD，EB?平面ABCD，∴EB⊥PA
∵EB⊥AB，PA∩AB=A
∴EB⊥平面PAB
∵AF?平面PAB
∴AF⊥EB
∵PA=AB=1，F是PB中点，∴AF⊥PB
∵EB∩PB=B，∴AF⊥平面PBC
∵PE?平面PBC
∴AF⊥PE；
（III）解：E是BC中点
∵EF∥平面PAC，PC?平面PAC，∴EF∥PC
∵F是PB中点，∴E是BC中点．

点评：本题考查几何体的体积，考查线面垂直，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．