Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）和四个点A、B、C、D，其中A在抛物线上，B（b，0），C（0，c）（c≠0），且直线AC交X轴于D点
（1）若p=2，b=-8，且D为AC中点，求证：AC⊥BC
（2）若p=2，b=1，且AC⊥BC，判断A，C，D三点的位置关系，并说明理由．
（3）对（1）（2）两个问题的探究过程中，涉及到以下三个条件：
①AC⊥BC；  ②点A、C、D的位置关系； ③点B的坐标．
对抛物线y²=2px（p＞0），请以其中的两个条件做前提，一个做结论，写出三个真命题，（不必证明）．

Answer 1

分析：（1）结合抛物线的方程可设A(

y02

4

，y0)，B(-8，0)，由D为AC的中点可知D(

y02

8

，0)，C(0，-y0)
要证明AC⊥BC?

AC

•

BC

=0即可
（2）由题意可设A(

y02

4

，y0)，B(1，0)，C(0，c)由AC⊥BC，可得

AC

•

BC

=0，代入可求c=

y0

2

，从而可得C是AD的中点
（3）真命题共有8种情况：①②⇒③共3种情况；①③⇒②共2种情况；②③⇒①共3种情况

解答：解：（1）由题意可设A(

y02

4

，y0)，B(-8，0)，…（1分）
?D为AC中点，∴D(

y02

8

，0)，C(0，-y0)…（4分）
又∵

AC

•

BC

=(-

y02

4

，-2y0)•(8，-y0)=0∴AC⊥BC…（6分）
（2）由题意可设A(

y02

4

，y0)，B(1，0)，C(0，c)，…（7分）
∵AC⊥BC，∴

AC

•

BC

=0⇒(-

y02

4

，c-y0)•(-1，c)=0⇒

y02

4

+c2-cy0=0⇒(c-

y0

2

)2=0（10分）
即c=

y0

2

，C是A，D的中点．…（12分）
（3）真命题共有8种情况：每个（2分）
①②⇒③共3种情况：
（i）若AC⊥BC，C为A，D的中点，则B(

p

2

，0)
（ii）若AC⊥BC，D为A，C中点，则B（-4p，0）
（iii）若AC⊥BC，A是C，D中点，则B（-4p，0）
①③⇒②共2种情况：
（i）若AC⊥BC，B(

p

2

，0)，则C为A，D的中点
（ii）若AC⊥BC，B（-4p，0），则D为A，C中点或A是C，D中点
②③⇒①共3种情况：
（i）若C为A，D的中点，B(

p

2

，0)，则AC⊥BC
（ii）若D为A，C中点，B（-4p，0），则AC⊥BC
（iii）若A是C，D中点，B（-4p，0），则AC⊥BC

点评：本题主要考查了抛物线的方程的应用，直线垂直与向量垂直的相互转化的应用，利用抛物线方程y²=2px（p＞0）的特点设出抛物线上点的坐标(

y2

2p

，y)是一种常用的设法