Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，平面α垂直于体对角线BD₁，则该正方体在平面α上射影的面积是（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．

  3 3

  4

• D．2

Answer 1

分析：依据题意画出图形，再利用全等三角形，将射影的面积转化为图形的面积．

解答：解：如图示，由题意知，
BD₁⊥A₁D，BD₁⊥C₁D，A₁D∩C₁D=D，
则平面A₁C₁D即为平面α

则该正方体在平面α上射影的面积即为：△A₁AD，△A₁C₁B₁，△CC₁D在平面A₁C₁D上投影的面积再加上△A₁C₁D的面积
而△A₁AD≌△A₁C₁B₁≌△CC₁D，且△A₁AD≌△A₁D₁D，
故△A₁AD，△A₁C₁B₁，△CC₁D在平面A₁C₁D上投影的面积为三倍的△A₁D₁D在平面A₁C₁D上投影的面积
而三倍的△A₁D₁D在平面A₁C₁D上投影的面积即为△A₁C₁D的面积
故该正方体在平面α上射影的面积为S=2S△A1C1D=2×

3

4

×A1D2=2×

3

4

×(

2

)2=

3

．
故选B

点评：本题考查正方体中有关的面积问题，考查了空间信息能力和逻辑思维能力．解题的关键是理解想象出要画出的平面是怎样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面就可以正确解题．