Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）若E、F分别为AD、AA₁的中点，求证：EF∥平面AB₁C；
（2）求平面B₁AC与平面ABC所成锐二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）连接A₁D，由E、F分别为AD、AA₁的中点，知EF∥A₁D，由此能够证明EF∥平面AB₁C． （2）连接AC，BD交于点O，连接B₁O，则∠B₁OB为所求平面B₁AC与平面ABC所成锐二面角．由此能求出结果．

解答：解：（1）如图所示，连接A₁D，
由E、F分别为AD、AA₁的中点，
则EF∥A₁D，
由ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
所以A₁D∥B₁C，所以EF∥平面AB₁C．
（2）连接AC，BD交于点O，连接B₁O，
则∠B₁OB为所求．
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
则BB₁=1，BD=

2

2

，
∴tan∠B₁OB=

1

2 2

=

2

．

点评：本题考查直线与平面平等的证明，考查平面与平面所成的二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化立体问题为平面问题．