题目内容
【题目】如图，底面
是边长为2且
的菱形，
平面，
，且
，
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）点
在线段
上，且三棱锥
的体积是三棱锥
的体积的两倍，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
.
【解析】
（1）证明
平面
，即可由线面垂直得面面垂直（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，根据法向量夹角公式即可求解.
（1）因为
平面
，
，所以
平面，
故
又四边形为菱形，故
故平面，又
平面
，
因此平面
平面
（2）解法一：取线段
中点
，连接
，以点
为原点
，分别以
的方向为
轴的正方向，建立空间直角坐标系
，
因为
，所以
则点
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
可取
设平面
的法向量为
，则
可取
故
因此二面角
的正弦值为.
解法二：前同法一，平面的法向量为
点
到平面的距离
作
于点
，由
，
得
因此二面角的正弦值为
，即.
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