Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ,a_n+1=其中λ为实数，n为正整数.

（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设0＜a＜b,S_n为数列{b_n}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有

a＜S_n＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a²₂=a₁a₃,即

矛盾.

所以｛a_n｝不是等比数列.

(Ⅱ)解：因为b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=- (-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-b_n

又b₁=-(λ+18),所以

当λ＝－18时，b_n=0(n∈N⁺),此时｛b_n｝不是等比数列：

当λ≠－18时，b₁=-(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).

故当λ≠-18时，数列｛b_n｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b_n=0,S_n=0,不满足题目要求.

∴λ≠-18，故得b_n= -（λ+18）·（－）^n-1，于是可得

Sn=-

要使a＜S_n＜b对任意正整数n成立，

即a＜- (λ+18)·［1－（－）ⁿ］＜b(n∈N⁺)               

   ①

当n为正奇数时，

∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,

于是，由①式得

当a＜b3a时，由－b-18-3a-18知，不存在实数λ满足题目要求；

当b＞3a时，存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a＜S_n＜b,且λ的取值范围是（-b-18,-3a-18）.