Question

如图12-5，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，｜AM｜=，｜AN｜=3,且｜BN｜=6建立适当的坐标系，求

 

曲线段C的方程.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

         

                                                                                                                                                         

Answer 1

解法一：如图12-24建立坐标系，以l₁为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l₂为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点设曲线段C的方程为

y²=2px(p＞0),(x_A≤x≤x_B,y＞0)

 

其中x_A、x_B分别为A、B的横坐标，p＝｜MN｜．

 

所以M（－，0），N（，0）

 

由｜AM｜＝，｜AN｜＝3得

（xA＋）²＋2px_A＝17        ①

（xA－）²＋2px_A＝9         ②

 

由①②两式联立解得x_A＝，再将其代入①式并由p>0

解得或

因为△AMN是锐角三角形，所以＞x_A，

故舍去

 

所以p＝4，x_A＝1．

由点B在曲线段C上，得x_B＝｜BN｜－＝4．

综上得曲线段C的方程为y²＝8x（1≤x≤4，y＞0）．

 

解法二：如图建立坐标系，分别以l₁、l₂为x、y轴，M为坐标原点作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分别为

 

E、D、F.设A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B）、N（x_N，0）依题意有x_A＝｜ME｜＝｜DA｜＝｜AN｜＝3，

 

y_A＝｜DM｜＝.由于△AMN为锐角三角形，故有x_N＝｜ME｜＋｜EN｜

 

＝｜ME｜＋＝4

 

x_B＝｜BF｜＝｜BN｜＝6．

 

设点P(x,y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合｛(x,y)|(x－x_N)²+y²=x²,x_A≤x≤x_B，y＞0｝

 

故曲线段C的方程为y²＝8（x－2）（3≤x≤6，y＞0）．