Question

定义在R上的函数满足f(0)=0 ，f(x)+f(1-x)=1 ， f(

x

5

)=

1

2

f(x)，且当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），则f(

1

2012

)=

1

32

．

Answer 1

分析：依题意，可求得f（1）=1，f（

1

2

）=

1

2

，再分别利用f（

x

5

）=

1

2

f（x），可求得f（

1

3125

）=f（

1

1250

）=

1

32

，结合已知，即可求得答案．

解答：解：依题意知，f（1）=1，由f（

1

2

）+（1-

1

2

）=1得：f（

1

2

）=

1

2

，
又f（

x

5

）=

1

2

f（x），
∴f（

1

5

）=f（

1

2

）=

1

2

，
f（

1

25

）=f（

1

10

）=

1

4

，
f（

1

125

）=f（

1

50

）=

1

8

，
f（

1

625

）=f（

1

250

）=

1

16

，
f（

1

3125

）=f（

1

1250

）=

1

32

，
∵

1

3125

＜

1

2012

＜

1

1250

，
当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），
∴f（

1

2012

）=

1

32

．
故答案为：

1

32

．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法求值，考查递推关系式的灵活应用，属于中档题．