题目内容

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：
（1）对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)；
（2）对任意x∈（-1，0），都有f（x）＞0．
若P=f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
r2+r-1
)+…+f(
1
20122+2012-1
)，Q=f(
1
2
)，R=f（0），则P、Q、R的大小关系为（　　）
分析：利用题设条件，先推导出f（0）=0=R，f（x）是奇函数，f（x）在（-1，1）上为单调递减．把f(
1
r2+r-1
) 化为 f（
1
r
）-f（
1
r+1
），可得P=f(
1
2
)-f(
1
2013
)＞Q=f(
1
2
)，由此能求出P、Q、R的大小关系．
解答：解：∵x∈（-1，1），f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)，
∴f（0）-f（0）=f（
0-0
1-0
）=f（0），解得f（0）=0，即 R=f（0）=0．
f（0）-f（x）=f（
0-x
1-0
）=f（-x），解得f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数．
∵对任意x∈（-1，0），都有f（x）＞0，故当x∈（0，1）时，都有f（x）＜0，Q=f(
1
2
)＜0．
令-1＜x＜y＜1，f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)，∵x-y＜0，1-xy＞0，∴
x-y
1-xy
＜0．
又
x-y
1-xy
+1=
x-y+1-xy
1-xy
=
(1+x)(1-y)
1-xy
，∵1+x＞0，1-y＞0，1-xy＞0，∴
x-y
1-xy
＞-1，
∴f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)＞0，∴f（x）在（-1，1）上为单调递减，
从而可得f（
1
2
）＜f(
1
5
)＜f(
1
11
)＜…＜f(
1
r2+r-1
)＜…＜f(
1
20122+2012-1
)＜0，
故P=f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
r2+r-1
)+…+f(
1
20122+2012-1
)＜0．
由于f(
1
r2+r-1
)=f（
1
r(r+1)-1
）=f（
1
r
+
-1
r+1
1+
1
r
•
1
r+1
）=f（
1
r
）+f（
-1
r+1
）=f（
1
r
）-f（
1
r+1
），
∴P=f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
r2+r-1
)+…+f(
1
20122+2012-1
)=f(
1
2
)-f(
1
3
)+f(
1
3
)-f(
1
4
)+f(
1
4
)-f(
1
5
)+…+f(
1
2012
)-f(
1
2013
)
=f(
1
2
)-f(
1
2013
)．
由于f（
1
2013
）＜0，∴P=f(
1
2
)-f(
1
2013
)＞f（
1
2
）．
综上可得，Q＜P＜R，
故选D．
点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的推导和应用，综合性强，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
ax+b
1+x2
是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(
1
2
)=
2
5
，
①求函数f（x）的解析式；
②判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性并用定义证明；
③解关于x的不等式f（log2x-1）+f（log2x）＜0．
已知函数f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=2x2-2x，求f（x）在（-1，1）上的解析式．
已知函数f(x)是定义在［-1，1］上的奇函数，且f(1)=1,若m、n∈［-1,1］,m+n≠0,＞0.

(1)证明f(x)在［-1，1］上是增函数；

（2）解不等式f(x+)＜f().

函数f（x）=是定义在（-1，1）的奇函数，且f（）=．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）判断函数在（-1，1）上的单调性；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．
函数f（x）=是定义在（-1，1）的奇函数，且f（）=．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）判断函数在（-1，1）上的单调性；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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