Question

（本小题满分13分）直三棱柱的直观图及其正视图、侧视图、俯视图如图所示.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　



（1）求证：面；   （2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的大小.

Answer 1

（1）同解析（2）点到平面的距离 （3）二面角的平面角为.

解法一、（1）如图所示，建立空间直角坐标系
　　　　则，，
　　　　， 平面，……………………1分
　　　　  …………………………2分
∴，   ……………………… 3分   
又∵平面
∴平面 ………………………4分（或证明
（２）设、、为平面的法向量
∵　

……………………6分

……………………5分

∵

∴取 ………………………7分
∵
∴点到平面的距离 ……………9分
（３）∵三棱柱为直三棱柱，
∴平面的法向量 ………………………10分
又平面的法向量
∴ ……………………12分
∴二面角的大小为. ……………………13分
解法二、（1）连接，∵、为，的中点，
∴.
面面
面
（2）设，连接，

＝

＝

则，又，

＝

∴，∴.

∵面，∴
∴面，∴面.
∴到平面的距离.
（3）过引交于，连接，则
为二面角的平面角
∵
∴，∴  ∴二面角的平面角为.