Question

（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x²+y²=r²和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A₁，A₂为圆C与x轴的两个交点，直线MA₁，MA₂与圆C的另一个交点分别为P、Q．
（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；
（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A₁（-2，0），A₂（2，0）．然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；
（2）证明法一：设A₁（-r，0），A₂（r，0）．设M（a，t），求出直线MA₁的方程，直线MA₁的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标．
法二：设得A₁（-r，0），A₂（r，0）．设M（a，t），求出直线MA₁的方程，与圆C的交点P设为P（x₁，y₁）．求出直线MA₂的方程，与圆C的交点Q设为Q（x₂，y₂）．点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在曲线[（a+r）y-t（x+r）][（a-r）y-t（x-r）]=0上，有P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．

解答：解：（1）当r=2，M（4，2），则A₁（-2，0），A₂（2，0）．
直线MA₁的方程：x-3y+2=0，解

x2+y2=4 x-3y+2=0

得P(

8

5

，  

6

5

)．…（2分）
直线MA₂的方程：x-y-2=0，解

x2+y2=4 x-y-2=0

得Q（0，-2）． …（4分）
由两点式，得直线PQ方程为：2x-y-2=0． …（6分）
（2）证法一：由题设得A₁（-r，0），A₂（r，0）．设M（a，t），
直线MA₁的方程是：y=

t

a+r

（x+r），
直线MA₁的方程是：y=

t

a-r

（x-r）．…（8分）
解

x2+y2=r2 y= t a+r (x+r)

得P(

r(a+r)2-rt2

(a+r)2+t2

，  

2tr(a+r)

(a+r)2+t2

)．…（10分）
解

x2+y2=r2 y= t a-r (x-r)

得Q(

rt2-r(a-r)2

(a-r)2+t2

，  -

2tr(a-r)

(a-r)2+t2

)． …（12分）
于是直线PQ的斜率k_PQ=

2at

a2-t2-r2

，
直线PQ的方程为y-

2tr(a+r)

(a+r)2+t2

=

2at

a2-t2-r2

(x-

r(a+r)2-rt2

(a+r)2+t2

)． …（14分）
上式中令y=0，得x=

r2

a

，是一个与t无关的常数．
故直线PQ过定点(

r2

a

，  0)． …（16分）
证法二：由题设得A₁（-r，0），A₂（r，0）．设M（a，t），
直线MA₁的方程是：y=

t

a+r

（x+r），与圆C的交点P设为P（x₁，y₁）．
直线MA₂的方程是：y=

t

a-r

（x-r）；与圆C的交点Q设为Q（x₂，y₂）．
则点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在曲线[（a+r）y-t（x+r）][（a-r）y-t（x-r）]=0上，…（10分）
化简得  （a²-r²）y²-2ty（ax-r²）+t²（x²-r²）=0．          ①
又有P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在圆C上，圆C：x²+y²-r²=0．②
①-t²×②得 （a²-r²）y²-2ty（ax-r²）-t²（x²-r²）-t²（ x²+y²-r²）=0，
化简得：（a²-r²）y-2t（ax-r²）-t² y=0．
所以直线PQ的方程为（a²-r²）y-2t（ax-r²）-t² y=0．      ③…（14分）
在③中令y=0得 x=

r2

a

，故直线PQ过定点(

r2

a

，  0)．…（16分）

点评：不考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，考查计算能力与转化思想．