题目内容

证明：函数f（x）=x+ $数学公式$ （x＞0）在区间（0，2）递减．

证明：设x₁、x₂是区间，（0，2）上的任意两个数，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁+ $\text{[math]}$ ）-（x₂+ $\text{[math]}$ ）=（x₁-x₂）（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∵x₁＜x₂，x₁、x₂∈（0，2）
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，可得 $\text{[math]}$ ＞0
由此可得f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）=x+ $\text{[math]}$ （x＞0）在区间（0，2）上为减函数．
分析：设两个数x₁、x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，将f（x₁）与f（x₂）作差变形整理，再讨论得f（x₁）＞f（x₂），由此即可得到f（x）=x+ $\text{[math]}$ 在区间（0，2）上为减函数．
点评：本题通过证明一个函数在给定区间上为减函数，考查了用定义证明函数单调性的知识，属于基础题．

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设函数f（x）=（x-a）²，g（x）=x，x∈R，a为实常数．
（1）若a＞0，设F(x)=

，x≠0，用函数单调性的定义证明：函数F（x）在区间[a，+∞）上是增函数；
（2）设关于x的方程f（x）=|g（x）|在R上恰好有三个不相等的实数解，求a的值所组成的集合．

探究函数f（x）=x+

，x∈（0，+∞）的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.002	4.04	4.3	5	4.8	7.57	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f（x）=x+

（x＞0）在区间

上递减；并利用单调性定义证明．函数f（x）=x+

（x＞0）在区间

上递增．当x=

时，y_最小=

．
（2）函数f（x）=x+

（x＜0）时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

（2011•安徽模拟）定义：对于函数f（x），x∈M⊆R，若f（x）＜f'（x）对定义域内的x恒成立，则称函数f（x）为?函数．
（Ⅰ）证明：函数f（x）=e^x1nx为?函数．
（Ⅱ）对于定义域为（0，+∞）的?函数f（x），求证：对于定义域内的任意正数x₁，x₂，…，x_n，均在f（1n（x₁+x₂+…+x_n））＞f（1nx₁）+f（1nx₂）．+…+f（1nx_n）

证明：函数f（x）=lnx+2x-6在区间（2，3）内有唯一的零点．

已知a∈R，函数f(x)=

(a-1)x+1，x≤0

（1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）求函数f（x）的零点．