Question

已知函数f（x）=e^x（m-lnx）（m为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），函数g（x）=x-lnx-

f′(x)

ex

 的最小值为1，其中f′（x） 是函数f（x）的导数．
（1）求m的值；
（2）判断直线y=e是否为曲线f（x）的切线，若是，试求出切点坐标和函数f（x）的单调区间；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用函数g（x）=x-lnx-

f′(x)

ex

的最小值为1，可求m的值；
（2）由（1）得，f（x）=e^x（1-lnx），f′（x）=e^x（1-

1

x

-lnx）．令h（x）=1-

1

x

-lnx，则h′(x)=

1-x

x2

，确定函数单调性，求最值，可得结论．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x（m-lnx），
∴f′(x)=ex(m-

1

x

-lnx)，x∈(0，+∞)，
∴g（x）=x-lnx-

f′(x)

ex

=x+

1

x

-m≥2-m，
∵函数g（x）=x-lnx-

f′(x)

ex

的最小值为1，
∴2-m=1，
∴m=1；
（2）由（1）得，f（x）=e^x（1-lnx），f′（x）=e^x（1-

1

x

-lnx）．
令h（x）=1-

1

x

-lnx，则h′(x)=

1-x

x2

．
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）_max=h（1）=0．
∵e^x＞0，∴x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0恒成立，
∴x∈（0，+∞）时，函数f（x）单调递减．
∵f′（1）=0且f（1）=e，
∴f（x）在（1，e）处的切线方程为y=e，
∴直线y=e是曲线f（x）的切线．切点坐标（1，e），且函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．

点评：本题考查导数知识的运用，考查基本不等式的运用，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．