Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点．
（Ⅰ）求PA与底面ABCD所成角的大小；
（Ⅱ）求证：PA⊥平面CDM；
（Ⅲ）求二面角D-MC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取DC的中点O，由△PDC是正三角形，知PO⊥DC，由平面PDC⊥底面ABCD，知PO⊥平面ABCD于O，所以∠PAO就是PA与底面所成的角，由此能求出PA与底面ABCD所成角的大小．
（Ⅱ）以OA为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明PA⊥平面DMC．
（Ⅲ）求出平面BMC的法向量

n

=(-1，

3

，1)和平面CDM的法向量

m

=（1，0，-1），利用向量法能求出二面角D-MC-B的余弦值．

解答：（Ⅰ）解：取DC的中点O，∵△PDC是正三角形，∴PO⊥DC，
又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O，
连接OA，则OA是PA在底面上的射影，
∴∠PAO就是PA与底面所成的角，
∵∠ADC=60°，△PCD和△ACD都是边长为2的全等的等边三角形，
∴OA=OP=

22-12

=

3

，
∴∠PAO=45°，
所以PA与底面ABCD所成角的大小为45°．
（Ⅱ）证明：∵底面ABCD是菱形，且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，
∴OA⊥DC，以OA为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（

3

，0，0），P（0，0，

3

），D（0，-1，0），B（

3

，2，0），C（0，1，0），
∵M为PB的中点，∴M（

3

2

，1，

3

2

），
∴

DM

=（

3

2

，2，

3

2

），

PA

=(

3

，0，-

3

)，

DC

=(0，2，0)，
∴

PA

•

DM

=

3

2

×

3

+2×0+

3

2

×(-

3

)=0，

PA

•

AC

=0×

3

+2×0+0×(-

3

)=0，
∴PA⊥DM，PA⊥DC，
∴PA⊥平面DMC．
（Ⅲ）解：设二面角D-MC-B的平面角为θ，

CM

=（

3

2

，0，

3

2

），

CB

=（

3

，1，0），
设平面BMC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n

•

CM

=0，

n

•

CB

=0，
∴

x+z=0 3 x+y=0

，解得

n

=(-1，

3

，1)，
设平面CDM的法向量

m

=（x₁，y₁，z₁），则

m

•

DC

=0，

m

•

DM

=0，
∴

2y1=0 3 2 x1+2y1+ 3 2 z1=0

，解得

m

=（1，0，-1），
∵θ是钝角，
∴cosθ=-|cos＜

m

，

n

＞|=-|

-1+0-1

5 • 2

|=-

10

5

．
故二面角D-MC-B的余弦值为-

10

5

．

点评：本题考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．