Question

已知直线x=-1的方向向量为

a

及定点F（1，0），动点M，N，G满足

MN

-

a

=0，

MN

+

MF

=2

MG

，

MG

•（

MN

-

MF

）=0，其中点N在直线l上．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，若α+β=θ为定值（0＜θ＜π），试问直线AB是否恒过定点，若AB恒过定点，请求出该定点的坐标，若AB不恒过定点，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意知：MN⊥l|MF|=|MN|，
由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，
其中F（1，0）为焦点，x=-1为准线，
所以轨迹方程为y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意得x₁≠x₂（否则α+β=π）且x₁•x₂≠0，
所以AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，
显然x1=

y 21

4

，x2=

y 22

4

，
联立

y=kx+b y2=4x

，消去x得到：y2-

4

k

y+

4b

k

=0，
由根与系数关系得：

y1+y2= 4 k y1•y2= 4b k

①
1）当θ=

π

2

时，即α+β=

π

2

时，tanα•tanβ=1，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=1即x1x2-y1y2=0，

y 21 y 22

16

-

y

21

y

22

=0
所以y₁y₂=16，
由①知：

4b

k

=16，
所以b=4k因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k，
∴直线AB恒过定点（-4，0）
2）当θ≠

π

2

时，由α+β=θ，得tanθ=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

4(y1+y2)

y1y2-16

，
将①式代入上式整理化简可得：tanθ=

4

b-4k

，所以b=

4

tanθ

+4k，
此时，直线AB的方程可表示为y=kx+

4

tanθ

+4k，
∴直线AB恒过定点(-4，

4

tanθ

)
∴当θ=

π

2

时，AB恒过定点（-4，0），
当θ≠

π

2

时，．AB恒过定点(-4，

4

tanθ

)