题目内容

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1且 $数学公式$ ．
（I）证明：数列{ $数学公式$ }是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式 $数学公式$ 对任意正整数n都成立的最大实数k．

（I）证明：∵数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1，
且 $\text{[math]}$ ，
∴（1+2a_n）（1-2a_n+1）=1，
∴a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴数列 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ =1为首项，以2为公差的等差数列，
∴ $\text{[math]}$ =1+2（n-1）=2n-1，
∴ $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）解：由（I）得 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
则k $\text{[math]}$ ，
记f（n）= $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，
∴数列{f（n）}是递增数列，
要使原不等式对任意正整数n都成立，只要k≤f（1），
即 $\text{[math]}$ ，
∴满足条件的最大实数k为 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由题设知（1+2a_n）（1-2a_n+1）=1，故a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1， $\text{[math]}$ ，由此能够证明数列 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ =1为首项，以2为公差的等差数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，则k $\text{[math]}$ ，由此能求出满足条件的最大实数k的值．
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．