Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对n∈N⁺均有++…+=a_n+1成立，求c₁+c₂c₃+…+c₂₀₁₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）写出等差数列的第2项、第5项、第14项，由其分别为等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项列式求出d，则数列{a_n}的通项公式可求，然后求出数列{b_n}的第2项、第3项，则其公比可求，利用求通项公式；
（2）在中取n=1求出c₁，取n≥2得另一递推式，两式作差后可求数列{c_n}的通项公式，最后利用等比数列的求和公式即可求得c₁+c₂c₃+…+c₂₀₁₂．
解答：解：（1）因为a₁=1，则a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，
又等差数列{a_n}的第2项、第5项、第14项分别为等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
即3d（d-2）=0，又公差d＞0，∴d=2，
则a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
又b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴数列{b_n}的公比为3，
则b_n==3•3^n-2=3^n-1．
（2）由①
当n=1时，=a₂=3，∴c₁=3，
当n＞1时，++…+=a_n②
①-②得 =a_n+1-a_n=2（n+1）-1-（2n-1）=2 
∴c_n=2b_n=2•3^n-1（n＞1），而c₁=3不适用该通项公式．
∴c_n=．
∴c₁+c₂+c₃+…c₂₀₁₂=3+2•3+2•3²+…+2•3²⁰¹¹
=1+2•1+2•3+2•3²+…+2•3²⁰¹¹=1+2•=3²⁰¹²．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，两递推式联立时注意n的适用范围，考查了等比数列的前n项和，此题属中档题．