Question

①若关于x的方程m（x-1）=3（x+2）的解为正数，求实数m的取值范围；
②设①中m的取值范围用集合A表示，关于x的不等式（x-a）（2a-1-x）＞0（a＜1）的解集用集合B表示，若B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：①首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于a的不等式，从而求得a的范围．
②根据上一问做出的集合A，做出x的不等式（x-a）（2a-1-x）＞0（a＜1）的解集，根据两个集合之间的关系，得到两个不等式的端点处的数字之间的关系，得到结果．

解答：解：①原式化为（m-3）x=m+6，
（1）当m=3时，无解；…（1分）
（2）当m≠3时，解集为x=

m+6

m-3

，…（1分）
由题意

m+6

m-3

＞0，解得：m＜-6或m＞3．…（2分）
②由①知A=（-∞，-6）∪（3，+∞），
由（x-a）（2a-1-x）＞0得（x-a）[x-（2a-1）]＜0，
因为a＜1，所以2a-1＜a，
所以原不等式的解集为2a-1＜x＜a，
所以B=（2a-1，a），…（3分）
因为B⊆A，所以有

a≤-6 a＜1

或

2a-1≥3 a＜1

，解得a≤-6．…（2分）
所以a的取值范围是（-∞，-6]．…（1分）

点评：本题考查方程的解的情况，本题解题的关键通过解方程得到用含变量的代数式表示x．注意自变量的系数可能是0，要分类讨论．