Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-(a+1)x2+4ax，（（a∈R））．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减，求实数a的值；
（Ⅱ）若常数a＜1，求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值；
（Ⅲ）已知a=0，求证：对任意的m、n，当m＜n≤1时，总存在实数t∈（m，n），使不等式f（m）+f（n）＜2f（t）成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函数f(x)=

1

3

x3-(a+1)x2+4ax，求出其导数f′（x），因为函数y=f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，所以f（x）在区间（-∞，0）上f′（x）＞0，从而求出a的值；
（Ⅱ）由题意常数a＜1，令f′（x）=0，得f（x）的极值点，然后求出函数f（x）的单调区间，从而求出函数f（x）在区间[0，2]上的最大值；
（Ⅲ）假设存在，取t=

m+n

2

，然后代入函数f（x）进行计算，看是否存在．

解答：解：f（x）′=x²-2（a+1）x+4a，
（Ⅰ）因为函数y=f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，（0，1）上单调递减，
∴f′（0）=4a=0，∴a=0，
又当a=0时，f′（x）=x²-2x，∴当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，1）上单调递减．
综上，a=0时，y=f（x）在区间（-∞，0）上是增函数，在区间（0，1）上是减函数．
（Ⅱ）令f′（x）=0，得x₁=2a，x₂=2．
因为a＜1
∴x₁＜x₂
当x变化时，f（x），f′（x）的值的变化情况如下：
当x＜2a时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当2a＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
注意到x∈[0，2]，
∴当a≤0时，f（x）在区间[0，2]上单调递减，f（x）的最大值为f（0）=0，
当0＜a＜1时，f（x）在区间[0，2a]上单调递增，在区间[2a，2]上单调递减，
∴f（x）的最大值为f（2a）=4a²-

4

3

a3．
（Ⅲ）取t=

m+n

2

，
∵f（m）+f（n）-2f（

m+n

2

）=

1

3

m³-m²+

1

3

n³-n²-

1

12

（m+n）³+

1

2

（m+n）²=

1

4

[m³+n³-m²n-mn²-2（m-n）³]=

1

4

（m-n）2（m+n-2），
∵m＜n≤1，得（m-n）²＞0，m+n-2＜0，
∴f（m）+f（n）-2f（

m+n

2

）＜0，
∴存在t=

m+n

2

∈（m，n）（n≤1），
使不等式f（m）+f（n）＜2f（t）成立．

点评：此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，考查数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想．