Question

【题目】已知椭圆的一个焦点为，离心率为.为椭圆的左顶点，为椭圆上异于的两个动点，直线与直线分别交于两点.

（I）求椭圆的方程；

（II）若与的面积之比为，求的坐标；

（III）设直线与轴交于点，若三点共线，求证：.

Answer 1

【答案】（I）（II）的坐标为或.（III）见解析

【解析】

（Ⅰ）由题意得c＝1，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由△PAF与△PMF的面积之比为，可得．设M（4，m）（m≠0），P（x0，y0），则，求得．将其代入，解得m＝±9．则M的坐标可求；（Ⅲ）设M（4，m），N（4，n），P（x0，y0），分析可得m≠0，n≠0．直线AM的方程为．联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得P的坐标，利用利用对称性证明若P，F，Q三点共线，则∠MFR＝∠FNR．

（I）由题意得解得

因为，所以.

所以椭圆的方程为.

（II）因为与的面积之比为，

所以.

所以.

设，则，

解得.

将其代入，解得.

所以的坐标为或.

（III）设，

若，则为椭圆的右顶点，由三点共线知，为椭圆的左顶点，

不符合题意.

所以.同理.

直线的方程为.

由消去，整理得.

成立.

由，解得.

所以.

所以.

当时，，，即直线轴.

由椭圆的对称性可得.

又因为，

所以.

当时，，

直线的斜率.

同理.

因为三点共线，

所以.

所以.

在和中，

，，

所以.

因为均为锐角，

所以.

综上，若三点共线，则.