Question

【题目】如图，四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点.

（1）证明；

（2）求二面角的余弦值；

（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）；（3）

【解析】

（Ⅰ）以点为原点建立空间直角坐标系，写出点的坐标，写出向量，，计算两向量的数量积即可证明垂直（Ⅱ）利用向量的坐标，分别求出平面的法向量，平面的法向量，即可计算二面角的余弦值（III）设，写出，求平面的一个法向量，利用线面角公式写出直线与平面所成角的正弦值且为，可解出，即可求解线段的长.

（I）以点为原点建立空间直角坐标系，如图，

依题意得，，，

，，.

则，，

而.

所以.

（II），，

设平面的法向量为，则，

即，取.

设平面的法向量为，则，

即，取.

，

所以二面角的余弦值为.

（III），，

设，有.

取为平面的一个法向量，

设为直线与平面所成的角，

则

.

于是，解得.

所以.

所以线段的长为.