Question

已知函数f(x)=(

3

sin

ω

2

x+cos

ω

2

x)cos

ω

2

x-

1

2

(ω＞0)的最小正周期为2π．
（I）求ω的值；
（II）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）按多项式乘法化简函数，利用倍角公式化为f(x)=sin(ωx+

π

6

)，根据周期求ω的值；
（II）利用正弦定理化（2a-c）cosB=bcosC，为三角函数的关系，求出B的值，确定A的范围，再求函数f（A）的取值范围．

解答：解：（I）f(x)=

3

sin

ω

2

xcos

ω

2

x+cos2

ω

2

x-

1

2

=sin(ωx+

π

6

)（4分）
∵T=

2π

ω

=2π∴ω=1∴f(x)=sin(x+

π

6

)（6分）
（II）∵（2a-c）cosB=bcosC∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC2sinAcosB=sin（B+C）=sinA
∴cosB=

1

2

∴B=

π

3

（8分）
∵f(A)=sin(A+

π

6

)，0＜A＜

2π

3

∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

∴f(A)∈(

1

2

，1]（10分）

点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，考查计算能力，分析问题解决问题的能力，是中档题．