Question

4．已知各项均不相同的等差数列{a_n}的前4项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式：
（2）设T_n为数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和，求证：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁，a₃，a₇成等比数列，
∴${a}_{3}^{2}={a}_{1}{a}_{7}$，即$（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）$，
化为a₁=2d．∵S₄=14，∴4a₁+$\frac{4×3}{2}d$=14，化为2a₁+3d=7．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2d}\\{2{a}_{1}+3d=7}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
（2）证明：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$＜$\frac{1}{2}$．
∴T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．