Question

已知函数f(x)=cos(ωx+

π

6

)+cos(ωx-

π

6

)-sinωx(ω＞0，x∈R)的最小正周期为2π．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）若f(θ)=

6

3

，求cos(

π

3

+2θ)的值．

Answer 1

分析：（I）利用查两角和差的正弦、余弦公式化简函数f（x）的解析式为2cos（ωx+

π

6

），根据函数的周期为 2π，求得ω=1，可得f（x）=2cos（ x+

π

6

）．由x+

π

6

=kπ，k∈z，求得x的值，即得对称轴方程．
（II）由 f(θ)=

6

3

，可得 cos（θ+

π

6

）=

6

6

，再利用二倍角公式求得cos(

π

3

+2θ)的值．

解答：解：（I）∵f(x)=cos(ωx+

π

6

)+cos(ωx-

π

6

)-sinωx 
=cosωxcos

π

6

-sinωxsin

π

6

+cosωxcos

π

6

+sinωxsin

π

6

-sinωx
=

3

cosωx-sinωx=2cos（ωx+

π

6

）．
函数f(x)=cos(ωx+

π

6

)+cos(ωx-

π

6

)-sinωx(ω＞0，x∈R)的最小正周期等于2π，
∴

2π

ω

=2π，∴ω=1，可得f（x）=2cos（x+

π

6

）．
由x+

π

6

=kπ，k∈z，求得对称轴方程为 x=kπ-

π

6

，k∈z．
（II）由 f(θ)=

6

3

，可得 cos（θ+

π

6

）=

6

6

，
∴cos(

π

3

+2θ)=2cos2(θ+

π

6

)-1=-

2

3

．

点评：本题主要考查本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式，三角函数的周期性，属于中档题．