Question

【题目】已知函数且满足条件：①；②.

(1)求的表达式；

(2)当时，证明:；

(3)若函数，讨论在上的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）见解析.

【解析】

（1）因为，图像关于成中心对称，是奇函数，图像关于（0，0）成中心对称，故，求解

（2）由三角函数线的定义直接证明。

（3）先设,转化为二次函数的零点问题，对值进行分类讨论：当， ，。

：（1）因为是奇函数，图像关于（0，0）成中心对称，

又因为，图像关于成中心对称，

则，即，且，故，

（另：，则）

又，即，故，综上。

（2）当，，设，即证，

如图：在单位圆中，由三角函数线知，

则在中，，

即，所以。（另：也可以利用证明！）

（3）设,,注意到，，

当时，得，即，则有2018个零点；

当时，令得，

则有 个零点；

当时，令得，

则有个零点；

当时，令得，

则有个零点；