Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+alnx(a∈R)．
（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若?x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可；
（Ⅱ）先由a＞0得f（x）的值域为R；a=0，f(x)=

1

2

x2＞0满足要求；再对a＜0时，求出其导函数，利用导函数研究出其极小值，与0相比即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）当a=-1时，f(x)=

1

2

x2-lnxf′(x)=x-

1

x

，（1分）
令f′(x)=x-

1

x

＞0，解得x＞1，所以f（x）的单调增区间为（1，+∞）；（3分）
f′(x)=x-

1

x

＜0，解得0＜x＜1，所以f（x）的单调减区间为（0，1）..（4分）
（Ⅱ）当a＞0，由对数函数性质，f（x）的值域为R；（5分）
当a=0，f(x)=

1

2

x2＞0，所以对?x＞0，f（x）＞0恒成立；（6分）
当a＜0，由f′(x)=x+

a

x

．令f′（x）=0，∴x=

-a

列表：

x	(0， -a )	-a	( -a ，+∞)
f′（x）	_	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

（8分）
这是f(x) min=f(

-a

)=-

a

2

+aln

-a

．（10分）
∵?x＞0，使f（x）≤0成立，∴-

a

2

+aln

-a

≤0，∴a≤-e，
∴a范围为（-∞，-e]∪（0，+∞）．（12分）

点评：本题第二问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．