Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PD⊥底面ABCD，E为PC的中点．
（1）求证：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD=DC，求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取CD的中点F，连接EF、BF，则EF∥PD，由此能够证明EB∥平面PAD．
（2）建立空间直角坐标系O-xyz，设OB=1，则PA=AD=DC=2，利用向量法能够求出二面角E-BD-C的余弦值．

解答：（1）证明：取CD的中点F，连接EF、BF，
则EF∥PD，
∴EF∥平面PAD，
∵BF∥AD，∴BF∥平面PAD，
∴平面EBF∥平面PAD，
∴EB∥平面PAD．
（2）解：如图，建立空间直角坐标系O-xyz，
设OB=1，则PA=AD=DC=2，
∴B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），


∴E（1，1，1），

BE

=（0，1，1），

BD

=(-1，2，0)，
取平面BDC的法向量

n1

=(0，0，1)，
设平面BDE的法向量

n2

=(x，y，z)，则

BD

•

n2

=0，

BE

•

n2

=0，
∴

-x+2y=0 y+z=0

，∴

n2

=（2，1，-1），
设二面角E-BD-C的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

-1

6

|=

6

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的平面角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．