Question

已知第一象限内的点M到x轴、y轴的距离分别为5、4，点N的坐标是（0，3），经过点M、N的圆P的圆心P在x轴上．
（1）求圆P的方程   
（2）若点Q（x，y）在圆P上，求：3x+4y的取值范围．

Answer 1

分析：（1）易得M（4，5），从而算出MN的为（2，4），MN的斜率k=

5-4

4-2

=

1

2

．由此得出MN垂直平分线方程为y=-2x+8，交x轴于（4，0），得到圆心坐标．利用距离公式算出半径r=5，即可得到圆P的方程；
（2）根据圆的参数方程，令x=4+5cosα、y=5sinα并利用辅助角公式化简整理可得3x+4y=25sin（α+φ）+12（其中φ是满足tanφ=

3

4

的锐角），再利用正弦函数的值域即可求出3x+4y的取值范围．

解答：解：（1）∵第一象限内的点M到x轴、y轴的距离分别为5、4，
∴M（4，5）…．（1分），
可得线段MN的中点坐标为（2，4），MN的斜率k=

5-4

4-2

=

1

2

∴线段MN垂直平分线的斜率为k'=

-1

k

=-2，
可得MN垂直平分线方程为y-4=-2（x-2）即y=-2x+8…．（3分），
令y=0得P（4，0），即圆心坐标为（4，0）
又∵圆P的半径为r=|PN|=

42+32

=5，
∴圆P的方程为（x-4）²+y²=25…．（6分）
（2）根据圆的参数方程，令x=4+5cosα，y=5sinα…．（8分）    
可得3x+4y=5（4sinα+3cosα）+12=25sin（α+φ）+12（其中φ是满足tanφ=

3

4

的锐角）  …（10分）
∵sin（α+φ）∈[-1，1]，
∴3x+4y∈[12-25，12-25]，即3x+4y∈[-13，37]
即3x+4y的取值范围为[-13，37]．

点评：本题给出满足条件的圆，求圆的方程并求3x+4y的取值范围．着重考查了圆的标准方程与参数方程、三角函数的值域与函数最值求法等知识，属于中档题．