Question

已知f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2
（1）求f（x）的最大值及相应的x值；
（2）当时，已知，求f（α）的值．

Answer 1

解：（1）f（x）=1+2sinxcosx+2cos²x-2（1分）
=1+sin2x+1+cos2x-2（3分）
=sin2x+cos2x=．（5分）
所以f（x）的最大值是，且当，即时取得 （7分）
（2）∵，（9分）
∴．（10分）
又∵，∴，（11分）
∴f（α）=（sinα+cosα）²+2cos²α-2（12分）
=（13分）
=．（14分）
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为，由此求得f（x）的最大值及相应的x值．
（2）由已知，求出sinα 的值，再由同角三角函数的基本关系求出cosα的值，代入f（α）=（sinα+cosα）²+2cos²α-2运算求得结果．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．