Question

【题目】在三棱锥中， ， 为的中点， 平面，垂足落在线段上，已知.

（1）证明： ；

（2）在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：⑴对于法一，易得因为平面，推导出，再推导出平面，即可得到答案；对于法二，以为原点，分别以过点与共线同向的向量， ， 方向上的单位向量为单位正交基建立空间直角坐标系，易求得几何体中各个顶点的坐标，求出， 的坐标，要证明，即证明

⑵要求满足条件使得二面角为直二面角的点，即求平面的法向量和平面的法向量互相垂直，由此求出点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式即可求出的长；

解析：（1）法一：∵, 为的中点，

∴，

∵平面，

∴，

∵垂足落在线段上，

∴平面，

∴.

法二：如图，以为原点，分别以过点与共线同向的向量， ， 方向上的单位向量为单位正交基建立空间直角坐标系，则

∴

∴

∴

（2）假设点存在，设， ，则，

∴，

∴，

∴，

∴

设平面的法向量为，平面的法向量为

由得，

令，可得，

由得，

令，可得，

若二面角为直二面角，则，得，

解得，∴

故线段上是否存在一点，满足题意， 的长为.