Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ax+ （a∈R）．
（1）当a=﹣ 时，求函数f（x）的单调区间和极值．
（2）若g（x）=f（x）+a（x﹣1）有两个零点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求证：x1+x2＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣ 时，f（x）=lnx+ x+ ，（x＞0），求导，f′（x）= + ﹣ = ，

令f′（x）=0，解得：x= 或x=﹣1（舍去），

当f′（x）＞0，解得：x＞ ，

当f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴函数的单调递增区间为（ ，+∞），单调递减区间为（0， ），

∴当x= 时，函数取极小值，极小值为2﹣ln3；

（2）证明：根据题意，g（x）=f（x）+a（x﹣1）=lnx+ ﹣a，（x＞0），

因为x1，x2是函数g（x）的两个零点，

∴lnx1+ ﹣a=0，lnx2+ ﹣a=0，

两式相减，可得ln = ﹣ ，

即ln = ，故x1x2= ．

那么x1= ，x2=

令t= ，其中0＜t＜1，

则x1+x2= + = ．

构造函数h（t）=t﹣ ﹣2lnt，（0＜t＜1），

则h′（t）= ，

∵0＜t＜1，h′（t）＞0恒成立，

故h（t）＜h（1），即t﹣ ﹣2lnt＜0，

则 ＞1，故x1+x2＞1．

【解析】（1）当a=﹣ 时，求导，令f′（x）＞0求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0即可求得函数的单调递减区间，即当x= 时，f（x）取极值；（2）求出个零点x1，x2，得到x1+x2= + = ．构造函数h（t）=t﹣ ﹣2lnt，（0＜t＜1），根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．