Question

已知函数f（x）=e^x-x，g（x）=x²-alnx．a＞0
（1）写出f（x）的单调递增区间，并证明e^a＞a；
（2）讨论函数y=g（x）在区间（1，e^a）上零点的个数．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）=e^x-1，令其等于零找出函数的稳定点，得到当x＞0时，f′（x）=e^x-1＞0，推出f（x）在[0，+∞）上是增函数，因为a＞0，得f（a）＞f（0）=1＞0，即e^a-a＞0得证．
（2）由e^a＞a（a≥0），函数的导函数g′（x），然后利用导数研究函数g（x）在区间（1，e^a）上的最小值，最后讨论最小值的符号，从而确定函数g（x）在区间（1，e^a）上的零点情况．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）=0，得到x=0．
当x＞0时，f′（x）=e^x-1＞1-1=0，
∴f（x）的单调递增区间是[0，+∞）．
∵a＞0，∴f（a）＞f（0）=1＞0．
所以，e^a-a＞0，即e^a＞a．
（2）∵g（x）=x²-alnx．a＞0，
∴g′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

=

2(x- 2a 2 )(x+ 2a 2 )

x

．
当0＜x＜

2a

2

时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
当x＞

2a

2

时，g′（x）＞0，g（x）为增函数．
∴g（x）min=g（

2a

2

）=

a

2

（1-ln

a

2

）．
①当

a

2

（1-ln

a

2

）＞0，即0＜a＜2e时，函数f（x）在（1，e^a）上无零点；
②当

a

2

（1-ln

a

2

）=0，即a=2e时，

2a

2

=

e

，则1＜

2a

2

＜e^a，
而f（1）=1＞0，f（

2a

2

）=0，f（e^a）＞0，
∴f（x）在（1，e^a）上有一个零点；
③当

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，
即a＞2e时，e^a＞

2a

2

＞

e

＞1，有1＜

2a

2

＜ea．
而g（1）=1＞0，g（e^a）=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
当a＞2e时，g（x）min=g（

2a

2

）=

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，
所以，当a＞2e时，函数g（x）在（1，e^a）上有两个零点．
综上所述：当0＜a＜2e时，函数f（x）有、无零点；
a=2e时，函数f（x）有一个零点；
当a＞2e时，函数f（x）有两个零点．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查函数的零点个数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．