题目内容

已知函数f（x）=2x²-10x，（x∈R），问是否存在自然数m，使得方程 $数学公式$ 在区间（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数解？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

解：依题意，问题等价于方程2x³-10x²+37=0在（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数根，
令h（x）=2x³-10x²+37，
h′（x）=6x²-20x=6x（x- $\text{[math]}$ ），
当x∈（0， $\text{[math]}$ ）时，h′（x）＜0，h（x）在区间（0， $\text{[math]}$ ）上单调递减；
当x∈（ $\text{[math]}$ ，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）在区间（ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递增；…4分
由于h（3）=1＞0，h（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ＜0，h（4）=5＞0，…7分
所以方程h（x）=0在（3， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ，4）内分别有唯一实数根，而在（0，3），（4，+∞）内没有实数根…10分
所以存在唯一自然数m=3使得方程f（x）+ $\text{[math]}$ =0在区间（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数解．…12分
分析：依题意，将f（x）+ $\text{[math]}$ =0在区间（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数解转化为2x³-10x²+37=0在（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数根，通过导数可分析得方程h（x）=0在（3， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ，4）内分别有唯一实数根，而在（0，3），（4，+∞）内没有实数根，从而可得答案．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查根的存在性及根的个数判断，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，属于难题．