Question

（）（本小题满分12分）已知数列的前项和为，，且

（Ⅰ）写出与的递推关系式（）；

（Ⅱ）求关于的表达式；

（Ⅲ）设，求数列的前项和。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

法1：（Ⅰ）由及得

即

∴

（Ⅱ）由得

∴是首项为1，公差为1的等差数列，

故

∴

（Ⅲ）∵

∴

∴

∴………………①

当时，；

当时，；

当时………………②

由①－②得

；

∴

综上得。

解法二、

（Ⅰ）由及得

猜测。用数学归纳法证明如下：

（1）时，猜测成立；

（2）假设时，命题成立，即，则

∴，即，即时命题也成立。

综合（1）、（2）知对于都有

所以，故。

（Ⅱ），证明见（Ⅰ）。

（Ⅲ）同法一。