Question

【题目】在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】[ ，1）
【解析】解：设 =t （0≤t≤1）， = ﹣ =t ﹣ ， = ﹣ = ﹣ ．
∴ =（t ﹣ ）（ ﹣ ）=﹣t 2+（ +1） ﹣ 2 ．
∵ ⊥ ，
∴ =﹣t 2+（ +1） ﹣ 2=0．
化为：﹣16t+12（ +1）cos∠BAC﹣ =0，
整理可得：cos∠BAC= = （32﹣ ）=f（t），（0≤t≤1）．
由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，
∴f（0）≤f（t）≤f（1），即： ≤f（t）≤ ，即： ≤cosA≤ ，
∵A∈（0，π），
∴cosA＜1，
∴cosA的取值范围是：[ ，1）．
所以答案是：[ ，1）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解余弦定理的定义的相关知识，掌握余弦定理:;;．